全国2007年7月高等教育自学考试数论初步试题
课程代码：00418

一、单项选择题（本大题共30小题，每小题1分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．m， n是整数，下列式子可能成立的是（　　　）
A．2m=2n+1 B．4n=4m+1
C．3m=5n+1 D．6m=4n+1
2．下列说法正确的是（　　　）
A．-2除以-3余数为1 B．-5除以2，余数为-1
C．-10除以-3，余数为-7 D．19除以2，余数为3
3．任意12个连续整数中能被4除余数为2的数有（　　　）个。
A．2 B．3
C．4 D．5
4．设m为整数，则必有（　　　）
A．6|m（m+1）（m+2） B．5|m（m+1）（m+2）
C．4|m（m+1）（m+2） D．7|m（m+1）（m+2）（m+3）
5．若m为偶数，n为整数，下列说法正确的是（　　　）
A． 是整数 B． 是偶数
C． 是整数 D． 是整数
6．下列数中是合数的是（　　　）
A．17 B．23
C．20 D．19
7．不超过36的与12互质的自然数有（　　　）个。
A．11 B．12
C．13 D．14
8．已知整数c>0，则（ ）=1是c=（a， b）的（　　　）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．关系不确定，取决于c的奇偶数
9．自1到82的整数中，7的倍数有（　　　）个
A．12 B．13
C．10 D．11
10．x， y为任意实数，则下列式子一定正确的是（　　　）
A．[x+y]≤[x]+[y] B．{x+y}<{x}+{y}
C．{x+y}≤{x}+{y} D．[-x]=-[x]-1
11．30!的标准分解式中，最高幂指数是1的质因数有（　　　）个。
A．3 B．4
C．5 D．8
12．两个连续自然数乘积的末位数不可能是（　　　）
A．0 B．2
C．6 D．4
13．20的正约数个数是（　　　）个。
A．4 B．5
C．6 D．7
14．3405的十进位表示中个位数字是（　　　）
A．1 B．3
C．7 D．9
15．下列命题不一定成立的是（　　　）
A．若a≡b（mod m）则b≡a（mod m） 
B．若a≡b（mod m）， 则-a≡-b（mod m）
C．若a≡b（mod m）， 则b≡-a（mod m） 
D．若a≡b（mod m）， b≡c（mod m）， 则a≡c（mod m）
16．61000被17除的余数是（　　　）
A．1 B．6
C．8 D．16
17．下列分数不能化为纯循环小数的是（　　　）
A．  B．
C．  D．
18．若n的所有正因数之和a（n）=2n，则n称为（　　　）
A．完全数 B．梅森数
C．费马数 D．亲和数
19．整数22n+1的质因数一定具有的形式是（　　　）
A．2n+1k B．2n+1k+1
C．3n+1 D．2n+1k+2
20．满足10k≡1（mod 13）的最小正整数k是（　　　）
A．13 B．12
C．3 D．6
21．若k是整数，则k2+1-k一定是（　　　）
A．偶数 B．合数
C．素数 D．奇数
22．循环小数 化成既约分数是（　　　）
A．  B．
C．  D．
23．24的正约数中，共有（　　　）
A．3个质数，5个合数 B．2个质数，4个合数
C．3个质数，4个合数 D．2个质数，5个合数
24．设1≤a≤6， 化成循环小数，其循环节长度是（　　　）
A．6 B．11
C．7 D．60
25．下列同余式有唯一解的是（　　　）
A．3x≡2（mod 6） B．28x≡21（mod 35）
C．8x≡9（mod 11） D．78x≡30（mod 198）
26．方程4x+y=20的正整数解有（　　　）组。
A．3 B．4
C．5 D．无穷多
27．模39的简化剩余系中有（　　　）个整数。
A．24 B．25
C．20 D．39
28．a， b， c均为整数，则下列等式中未知数x一定是整数的是（　　　）
A．4a+b=c+x B．ab+4c=4x
C．ax=bc D．bcx=a
29．若p为偶数，q为奇数，则方程组 的解为整数，则（　　　）
A．x为奇数，y为偶数 B．x为偶数，y为奇数
C．x为偶数，y为偶数 D．x为奇数，y为奇数
30．下列选项中是梅森数的是（　　　）
A．25+1 B．27-1
C．28-1 D．27+1
二、填空题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）
 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
31．-172除以-7的不完全商是___________。
32．三个连续自然数的乘积为120，则这三个数的和是___________。
33．已知正整数a， b， （a， b）=3，[a， b]=18，则ab=___________。
34．对任意自然数a， 则（a+1，2a+1）=___________。
35．模13的最大负简化剩余系是___________。
36．若p为质数，则 （p）=___________。
37．设n是非负整数，形如___________的数叫做费马数。
38．小数 化成既约分数是___________。
39．同余式8x≡5（mod 11）的解为___________。
40．因为___________，所以不定方程12x+15y=7没有整数解。
三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
41．求最小的自然数n，使得n的正约数个数d（n）=21。
42．解同余式组
43．求不定方程10x-7y=17的整数解。
四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
44．设n为正整数，证明：
45．若a， b为整数，且 ，证明：
46．试证明任何一个整数的立方被7除，所得余数只能取0，1，6三个值之一。
五、综合题（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
47．已知七位数 是99的倍数，试求x， y。